由中值定理知,存在ξ∈(x,x+1), 使得f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*[(x+1)-x]=f'(ξ)当x→+∞时, x+1→+∞由夹逼定理知ξ→+∞∴lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=lim(ξ→+∞) f'(ξ)=k若lim(x→+∞)f(x)→∞, 则lim(x→+∞) f(x)/x为∞/∞型,用L'Hospital法则lim(x→+∞) f(x)/x=lim(x→+∞) f'(x)=k若lim(x→+∞)f(x)=a不趋向于∞, 则lim(x→+∞) f(x)/x=0显然lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=a-a=0即k=0∴lim(x→+∞) f(x)/x=k=0综上可知lim(x→+∞) f(x)/x=k成立
